[...] viajando à velocidade de 290 m/s, que fica encravada nele. Ache o ângulo θ (em rad) entre o fio e a vertical em função do tempo t.

Como de costume sugiro que ao ler a questão retirem primeiro todos os dados numéricos para em seguida começar sua análise buscando por meio de desenhos e dados coletados procurar identificar que instrumentos da física utilizar para seguir na busca pela que pede a questão.

Então vamos lá!
Fig. 01 - Pêndulo balístico
Dados: 
m = 10g (0,01kg); M = 8kg; L = 0,85cm; t = 0s; vm = 290 m/s
Para começar nossa análise, vejam que ao ser atingido pela bala o corpinho (pendulo) irá desenvolver um movimento para frente na direção do trajeto da bala e depois retornar formando um semi-circulo e depois de volta. Desta forma temos aí o surgimento de um torque (momento) que nos leva a pensar na Teoria da conservação do momento que iguala os momento final ao momento inicial.
Chamaremos,
Qi = Qf
O Q (inicial) se refere ao da bala e o Q (final) logo após a colisão se refere ao da bala mais do corpinho ( m + M ).
Sabendo que Q = m . v, temos então que,
Vejam que já conhecemos as condições da velocidade após o choque da bala com o pêndulo. Bem como já é percebido que temos ai um Movimento Harmônico Simples (MHS). Logo vamos inferir algumas condições.

Considerando t=0s e θ = 0. Da sentença acima temos que,
Para nosso caso, estamos considerando como força o peso dentro do sistema.

Temos então que, 
Se pegarmos de forma análoga a equação de x(t) vista anteriormente obtermos,
Daí voltando para o início para extraímos que,
Atenção para a situação acima. Percebam que para chegarmos a esta utilizamos - também de forma análoga - a condição dada onde t=0 e φ = 0.
Logo,
Desta forma temos que,
Espero que tenhamos ajudado!
Deixar aí seu comentário, sua dúvida.

Até a próxima!